ธนาคารความรู้ การใช้เลขยกกำลังแทนจำนวน

การใช้เลขยกกำลังแทนจำนวน

                การเขียนจำนวนที่มีค่ามากๆนิยมเขียนแทนได้ด้วยรูป Ax10ⁿเมื่อ 1≤A<10 และ n เป็นจำนวนเต็มบวก เช่น 16,000,000 = 1.6×10⁷ และทำนองเดียวกันการเขียนจำนวนเต็มที่มีค่าน้อยๆก็สามารถเขียนในรูป Ax10ⁿ ได้เช่นเดียวกัน  แต่ n จะเป็นจำนวนเต็มลบ เช่น 0.000016 = 1.6×10^-5

               หลักการเปลี่ยนจำนวนให้อยู่ในรูป Ax10ⁿ เมื่อ 1≤A<10 และ n เป็นจำนวนเต็มอย่างง่ายๆ คือให้พิจารณาว่าจุดทศนิยมมีการเลื่อนตำแหน่งไปทางซ้ายหรือขวากี่ตำแหน่ง ถ้าเลื่อนไปทางซ้ายเลขชี้กำลังจะเป็นบวก และถ้าเลื่อนไปทางขวาเลขชี้กำลังก็จะเป็นลบ

เช่น                   75000.0=7.5×10⁴     

                         0.000075 = 7.5×10^-5

หรือกล่าวได้ว่า ถ้าจุดทศนิยมเลื่อนไปทางขวา n ตำแหน่ง เลขชี้กำลังของ 10 จะลดลง n ถ้าจุดทศนิยมเลื่อนไปทางซ้าย n ตำแหน่ง เลขชี้กำลังของ10 จะเพิ่มขึ้น n

 

สรุป

          เลขยกกำลังเป็นการคูณตัวเลขนั้นๆตามจำนวนของเลขชี้กำลัง ซึ่งตัวเลขนั้นๆจะคูณตัวของมันเองและเมื่อแทน a เป็นจำนวนใด ๆ และแทน n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่มี a เป็นฐานหรือตัวเลข และ n เป็นเลขชี้กำลัง(aⁿ) หรือจะได้ว่า a คูณกัน n ตัว (axaxaxaxax…xa) อีกทั้งวิธีการคำนวณหาค่าเลขยกกำลังจะขึ้นอยู่กับสมบัติของเลขยกกำลังในแต่ละประเภทด้วย

ธนาคารความรู้ การบวกเลขยกกำลัง

การบวกเลขยกกำลัง

1.การบวกลบเลขยกกำลังที่มีฐานเหมือนกันและเลขยกกำลังเท่ากัน ให้นำสัมประสิทธิ์ของเลขยกกำลังมาบวกลบกัน

ตัวอย่าง       

                   

                       

2.การบวกลบเลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากัน  แต่เลขยกกำลังไม่เท่ากันจะนำสัมประสิทธิ์มาบวกลบกันไม่ได้  ต้องทำในรูปของการแยกตัวประกอบ และดึงตัวประกอบร่วมออก

ตัวอย่าง         

                     

                      

หมายเหตุ 

       (-2)⁴ และ -2⁴ มีค่าไม่เท่ากันเพราะ  (-2)⁴ ฐานคือ  (-2)       

เลขชี้กำลังคือ 4 อ่านว่าลบสองทั้งหมดยกกำลังสี่มีค่าเท่ากับ 16

       -2⁴  ฐานคือ 2 เลขชี้กำลังคือ 4 อ่านว่าลบของสองกำลังสี่มีค่าเท่ากับ  -16

ธนาคารความรู้ การหารไม่ลงตัว

การหารไม่ลงตัว

          การหาคำตอบของการหารไม่ลงตัว สามารถใช้ความสัมพันธ์ระหว่างการคูณและการหารเช่นเดียวกับการหารลงตัว โดยหาว่าจำนวนนับใดเมื่อคูณกับตัวหารแล้วใกล้เคียงตัวตั้งมากที่สุดและไม่มากกว่าตัวตั้งจำนวนนั้นจะเป็นผลหาร และเมื่อผลคูณระหว่างจำนวนนับนั้นกับตัวหารน้อยกว่าตัวตั้งอยู่เท่าไรจำนวนนั้นจะเป็นเศษ หรือ       ตัวตั้ง – (ตัวหาร x ผลหาร) = เศษ (เศษต้องน้อยกว่าตัวหารเสมอ)

                              เช่น   มีส้ม 13 ผล จัดใส่ถุงละ 4 ผล จะได้กี่ถุง

                                        จะได้ว่า    13  ÷   4  = ?  

 

                                         ดังนั้น    

                                          เขียนในรูปการหาร 13  ÷  4  ได้ 3 เศษ 1

แนวคิด

       เมื่อหาคำตอบโดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างการคูณและการหาร จะต้องหาว่ามีจำนวนนับใดที่เมื่อนำมาคูณกับ 4 แล้วเท่ากับ 13 ซึ่งไม่มี เราจึงต้องหาจำนวนนับที่เมื่อนำมาคูณกับ 4 แล้วได้ใกล้เคียง 13 มากที่สุดแต่ไม่เกิน  13 ซึ่งจำนวนนับที่เมื่อนำมาคูณกับ 4 แล้วได้ใกล้เคียง 13 มากที่สุด คือ 3 เนื่องจาก 3 คูณ 4 ได้ 12  และ 12 น้อยกว่า 13 อยู่ 1  ซึ่ง 1 ก็คือเศษนั่นเอง

สรุปการหาร

      การหารเป็นการแบ่งจำนวนหนึ่งเป็นกลุ่ม กลุ่มละเท่าๆกันหรือการลดลงที่ละเท่าๆกันตามจำนวนหนึ่งจนเหลือศูนย์หรือเหลือเศษ แล้วผลลัทธ์ที่ได้นั้นคือจำนวนครั้งที่ลบออก

ฐานความช่วยเหลือ ด้านกลยุทธ์การแก้ปัญหา

 

 

  

ฐานความช่วยเหลือ ด้านกลยุทธ์การแก้ปัญหา

 

 

 

ฐานความช่วยเหลือ ด้านความคิดรวบยอด

           

   

      

                                

ฐานความช่วยเหลือ ด้านความคิดรวบยอด

 

 

ธนาคารความรู้ สมบัติเลขยกกำลัง

 

 

เลขยกกำลัง

           คือ การคูณตัวเลขนั้นๆตามจำนวนของเลขชี้กำลัง ซึ่งตัวเลขนั้นๆจะคูณตัวของมันเองและเมื่อแทน a เป็นจำนวนใด ๆ และแทน n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่มี a เป็นฐานหรือตัวเลข และ n เป็นเลขชี้กำลัง(aⁿ) จะได้ว่า a คูณกัน n ตัว (axaxaxaxax…xa)
ตัวอย่าง
       2⁵ เป็นเลขยกกำลัง ที่มี 2 เป็นฐานหรือตัวเลข และมี 5 เป็นเลขชี้กำลัง
และ   2⁵   = 2x2x2x2x2  = 32

สมบัติของเลขยกกำลัง    

1. สมบัติการคูณเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวก          

                       

                                                                     

 เช่น     2³x 2⁷x 2⁹ = 2 ^{(3 + 7 + 9)} = 2¹⁹

2. สมบัติการหารเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก

กรณีที่ 1 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m > n 

                                                                    

เช่น     4¹²÷ 4³=4^12-3  = 4⁹

กรณีที่ 2 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, nเป็นจำนวนเต็มบวกที่ m = n

                                                                     

นิยาม ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ a⁰ = 1

 เช่น      6⁷÷ 6⁷ = 6^7-7 = 6⁰  = 1  หรือถ้า (-7)^o = 1

 กรณีที่ 3เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m < n    

                                                                 

เช่น      =  1/ 5^4-9

นิยาม ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว

             หรือ    

  เช่น               หรือ     

3.สมบัติอื่นๆของเลขยกกำลัง  

1. เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลขยกกำลัง                  

 เมื่อ a ≥0 และ m, n เป็นจำนวนเต็ม

เช่น              

                   

                     

2. เลขยกกำลังที่มีฐานอยู่ในรูปการคูณ หรือการหารของจำนวนหลาย ๆจำนวน

      และ         เมื่อ a ≠ 0 , b ≠ 0 และ n เป็นจำนวนเต็ม

เช่น                        

3. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน

       เมื่อ a > 0 และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1

เมื่อ a ≠ 0 และ m เป็นจำนวนเต็มบวก ; n ≥ 2

ธนาคารความรู้ การหารลงตัว

 

การหารลงตัว

          การหารลงตัว คือ การแบ่งจำนวนหนึ่งเป็นกลุ่ม กลุ่มละเท่าๆ กันหรือการลดลงที่ละเท่าๆกันตามจำนวนหนึ่งจนเหลือศูนย์ แล้วผลลัทธ์ที่ได้คือจำนวนครั้งที่ลบออก เช่น นักเรียน 30 คน ถ้าแบ่งกลุ่มๆละ 10 จะแบ่งได้ 3 กลุ่ม หรือ นักเรียน 30 คน หากลบออกครั้งละ 10 คน จะต้องลบออก 3 ครั้ง (30-10-10-10=0:ลบ 10 ออก 3 ครั้ง) ดังนั้น ผลลัทธ์ที่ได้คือ 3 ครั้ง  ซึ่งการแบ่งของการหารมี 2 ลักษณะ คือ

          1.แบ่งโดยกำหนดจำนวนของที่เท่ากันในแต่ละกลุ่ม เพื่อหาจำนวนกลุ่ม เช่น มีส้ม 12 ผล จัดใส่ถุง ถุงละ 3 ผล จะจัดได้กี่ถุง

          2.แบ่งโดยกำหนดจำนวนกลุ่ม เพื่อหาจำนวนของที่เท่าๆกันในแต่ละกลุ่ม เช่น มีส้ม 12 ผล จัดใส่ถุง ถุงละเท่าๆกัน  4 ถุง   แต่ละถุงจะมีส้มกี่ผล

  

           ตัวอย่างการหาผลหาร 

1.ต้องการแบ่งขนม 15 ชิ้น ให้เด็ก 3 คน คนละเท่าๆกัน แต่ละคนจะได้ขนมคนละกี่ชิ้น

                                   วิธีคิด    จะได้ว่า    15 ÷  3 = ?

                                                 

                  จะเห็นได้ว่า คำตอบของ 15 ÷  3 ก็คือจำนวนที่เป็นคำตอบใน  3×5 = 15

2.ต้องการแบ่งขนม 15 ชิ้น ให้เด็กคนละ 3 ชิ้น  จะแบ่งให้เด็กได้กี่คน

                                  วิธีคิด  จะได้ว่า    15 ÷  3 = ?                 

                  

                     จะเห็นได้ว่า คำตอบของ 15 ÷  3 ก็คือจำนวนที่เป็นคำตอบใน    5× 3 =15

   จากข้อ1 และข้อ2 เป็นการหาผลหารโดยอาศัยความสัมพันธ์ระหว่างการคูณและการหาร

                เราสามารถหาคำตอบของ  15 ÷ 3 = ?   ได้จาก 3×5 =15 และ 5 x 3 =15

สถานการณ์ปัญหา เลขยกกำลัง

         ครูกอย ได้มีความคิดที่อยากจะให้นักเรียนรู้จักการอดออมเงิน เพื่อที่จะนำเงินนั้นไปซื้อชั้นวางหนังสือประจำห้องเรียน ที่มีราคาอันละ 486 บาท ซึ่งในห้องเรียนมีนักรียนทั้งหมด 10 คน ครูกอย

ให้นักเรียนแต่ละคนนำเงินมาฝากเป็นเวลา 5 วัน     

 -วันแรก ครูกอยให้นำเงินมาออม 3บาท                 

-วันที่สอง ให้ออมเงินเป็นสองเท่าของวันแรก                   

-วันที่สาม ให้ออมเงินเป็นสองเท่าของวันที่สอง

 -วันที่สี่ ให้ออมเงิน เป็นสองเท่าของวันที่สาม

 และวันที่ห้า ให้ออมเงินเป็นสองเท่าของวันที่สี่
    เมื่อครบทั้ง 5 วัน ครูกอยจึงให้นักเรียนรวมเงินของแต่ละคนที่ได้จากการออมและนำเงินของแต่ละคนมารวมกันให้ครบทั้ง 10 คน     อยากทราบว่า นักเรียนหนึ่งคนเก็บเงินในระยะเวลา 5 วัน ได้เงินเท่าไรและเงินรวมของนักเรียน 10 คน สามารถซื้อชั้นวางหนังสือได้กี่อัน

 

1.วิเคราะห์หาวิธีการคำนวณเงินของนักเรียน 1 คน ที่ได้จากการออมทั้ง 5 วัน ว่าเป็นเงินเท่าใด พร้อมแสดงวิธีการคำนวณอย่างละเอียด

2.ในระยะเวลา 5 วัน เงินรวมของนักเรียน 1 คน สามารถซื้อชั้นวางหนังสือได้กี่อัน และเงินรวมของนักเรียนทั้งหมด 10 คน จะสามารถซื้อชั้นวางหนังสือได้กี่อัน